Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

1. Ecuaciones cuadráticas y bicuadradas

Una ecuación de segundo grado es de la forma ax²+bx+c.
Se resuelve mediante la siguiente fórmula:

Al resolverla puede ocurrir que:

Ecuaciones cuadráticas incompletas

- Si b=0, despejamos x² y hacemos la raíz cuadrada de c.

- Si c=0, sacamos factor común y resolvemos la ecuación.

- Si b= 0 y c=0, la solución es 0.

Ecuaciones bicuadradas

Una ecuación bicuadrada es de la forma ax⁴+bx²+c Se resuelve mediante el siguiente cambio de variable x²=t, entonces x⁴=t². 

EJERCICIO
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)  x² - 6x = 2x²
b)  3(x²-5)- 33 = 0
c)  x² - x - 2 = 0
d)  x⁴- 3x²+2 = 0
Solución  



EJERCICIO
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)  x² + 3x =0
b)  2(2x²- 5) = 3(1- 3x²)
c)  x²- 6x -27 = 0
d)  x⁴ - 34x²+225 = 0
Solución
 

2. Ecuaciones con radicales

Las ecuaciones radicales son aquéllas cuya incógnita se encuentra dentro de una raíz, la forma de resolverlas, es dejar la raíz sola en un miembro y elevar los dos miembros al cuadrado. Una vez que la hemos resuelto debemos comprobar las soluciones.

EJERCICIO

Resuelve las siguientes ecuaciones radicales:

Solución

EJERCICIO

Resuelve las siguientes ecuaciones radicales:
a)  √8x-7  - 2 = 3
b) √3x+10  +1 = 6 - 3 √x+3
Solución




3. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

Para resolver sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, mediante el método de Gauss, significa transformar el sistema de ecuaciones en un sistema escalonado.

Seguiremos estos pasos:

1º Elegimos una de las ecuaciones, la  multiplicamos por el número apropiado para que al sumarla con la segunda ecuación, se nos anule el término en x.

2º Lo mismo que antes, pero ahora para anular la x de la tercera ecuación.

3º Con el sistema resultante, multiplicamos la segunda ecuación por un número para que al sumarse con la tercera ecuación, se nos anule el término en y.

4º Con el sistema ya escalonado, resolvemos las ecuaciones.

EJERCICIO

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
 




Solución

EJERCICIO

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
2x+6y +z = 7
 x +2y -z = -1
5x+7y -4z = 9 
Solución
 

EJERCICIO 
Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan 3,56 euros. Se sabe que el precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que, el precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20% del precio del rotulador. Calcula los precios que marcaba cada una de las cosas, sabiendo que sobre esos precios se ha hecho el 10% de descuento.
Solución


EJERCICIO 

Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metales A, B y C. El primer lingote contiene 20 g del metal A, 20 g del B y 60 del C. El segundo contiene 10 g de A, 40 g de B y 50 g de C. El tercero contiene 20 g de A, 40 g de B y 40 g de C. Queremos elaborar, a partir de estos lingotes, uno nuevo que contenga 15 g de A, 35 g de B y 50 g de C. ¿Cuántos gramos hay que coger de cada uno de los tres lingotes?
Solución

4. Sistemas de ecuaciones no lineales 
Diremos que un sistema de ecuaciones es no lineal cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado.
Para resolver estos sistemas se utiliza el método de sustitución, realizaremos los siguientes pasos:
1º Despejamos una de las incógnitas de la ecuación de primer grado o de la más sencilla.
2º La sustituimos en la otra ecuación.
3º Resolvemos la ecuación.
4º Una vez que tenemos el valor de la incógnita lo sustituimos en cualquier ecuación, para obtener el valor de la otra incógnita.
  

EJERCICIO
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
a) x ² + y ² = 65
    xy = 28   

^{b) 3x 2 - 5y 2 = 30} 
      x ² - 2y ² = 7
Solución


EJERCICIO
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
a) x ² + y ²  - 4x - 6y +11= 0
    x ² + y ²  - 6x - 8y +21= 0  

^{b) 2x 2 - 10y 2 = 8}
      x ² - 3y ² =6
Solución

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