2º Bachillerato Geometría

Vectores en el espacio
Rectas y planos en el espacio
Problemas métricos en el espacio

VECTORES EN EL ESPACIO

1. Introducción

Nuestro sistema de coordenadas va a ser tridimensional, ahora los puntos serán de la forma P(x, y, z).

Un vector es cualquier segmento que tiene su origen en un punto A y su extremo en otro punto B.

Propiedades para la suma y el producto:

a)  Asociativa: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

b)  Conmutativa: u + v = v + u

c)  Elemento neutro respecto de la suma: u + 0 = u

d)  Elemento simétrico respecto de la suma: u + (-u) = 0

e)  Distributiva del producto respecto de la suma: (a +b ) × u =a × u +b × u

f)  Distributiva de la suma respecto del producto: a × (u + v) =a × u +a ×v

g)  Asociativa del producto: a × (b × u) = (a × b ) × u

h)  Elemento neutro respecto del producto: 1 × u = u

2. Dependencia lineal

Un vector w es combinación lineal de los vectores u_{1 …}u_n si existen escalares a_{1 …}a_n  tales que:      

        w = a₁ ^. u₁ + a₂ ^. u₂ +…+ a_n ^. u_n

Los vectores u_{1 …}u_n se dice que son linealmente dependientes si unos de ellos se pueden expresar como combinación lineal de los demás, en caso contrario, se dice que son linealmente independientes.

Tres vectores forman una base si cualquier vector se puede poner como combinación lineal de ellos.

Una base es ortogonal si los vectores son perpendiculares entre sí y será ortonormal si es ortogonal y además sus vectores tienen módulo 1.

De todas las bases ortornormales tomaremos la base canónica,  formada por los vectores:

i=(1, 0, 0), j =(0, 1, 0) y k=(0, 0, 1)

EJERCICIO

Comprueba que los vectores u = (4, 2, 0), v = (3, -1, 0) y w = (2, 2, 2) forman una base y calcula las coordenadas del vector a = (3, 1, 7) en esa base.
Solución

EJERCICIO

Comprueba que los vectores u = (1, -5, 2), v = (3, 4, -1) y w = (6, 3, -5) forman una base y calcula las coordenadas del vector a = (24, -26, -6) en esa base.
Solución

 

3. Producto escalar y módulo

El producto escalar de dos vectores es el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Geométricamente, el producto escalar de dos vectores es el módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Propiedades del producto escalar:

Se define el módulo de un vector como:

EJERCICIO

Dados los vectores: u (1, 2, -2), v (-8, 0, 6), calcular:

a) El ángulo que forman

b) Un vector paralelo a v y de módulo 2

c) Un vector ortogonal a u y unitario
Solución

EJERCICIOS

1- Calcula el producto escalar de los vectores u y v, sabiendo que u = (-1, 1, 0), que el módulo del vector v es 2 y que los dos vectores forman un ángulo de 30º.

2- Escribe un vector de módulo 1 que sea ortogonal al vector de coordenadas (2, 1, -1)
Solución

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