1º Bachillerato Trigonometría y números complejos

Resolución de triángulos
Fórmulas y funciones trigonométricas
Números complejos

1. Introducción

         Definición de ángulo

Un ángulo es la parte del plano limitada por dos semirrectas que se cortan. A las semirrectas se les llama lados y al punto donde se cortan vértice.

Medidas de ángulos

Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:

* Grado sexagesimal
Es la medida que resulta de dividir un ángulo recto en 90 partes iguales, por lo tanto, un ángulo recto mide 90º.

Uno de los sistemas de medición de los ángulos se llama sexagesimal.

Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').

* Radián

Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.

Como la longitud de la circunferencia es 2πr y el ángulo completo de una circunferencia mide 360°, la equivalencia entre ambas unidades de medida es: 
                                         360° ↔ 2π rad

EJERCICIOS

Solución



2. Razones trigonométricas

Para definir las razones trigonométricas vamos a utilizar el siguiente triángulo rectángulo en C:

Así como sus razones trigonométricas inversas: 

  

A partir de ahora vamos a representar las razones trigonométricas en una circunferencia de radio 1 y centro el origen de coordenadas, a la cual se denomina circunferencia goniométrica.

 

Teniendo esto en cuenta podemos saber el signo de cada razón trigonométricas según en el cuadrante que estén:

También debemos conocer las razones trigonométricas de los siguientes ángulos del primer cuadrante:

3. Relaciones fundamentales en trigonometría

A partir de las siguientes relaciones fundamentales podemos calcular todas las razones trigonométricas conociendo una de ellas.

La fórmula fundamental de trigonometría es:

A partir de ella se obtienen estas dos relaciones:

EJERCICIOS 

1- Sabiendo que α es un ángulo del primer cuadrante y que senα=3/4 , calcula todas las razones trigonométricas que quedan.

2- Sabiendo que tgα=-3 y α está en el segundo cuadrante, calcula todas las razones trigonométricas que faltan.
Solución

Relación entre cuadrantes
Las siguientes fórmulas sirven para calcular cualquier ángulo a partir de un ángulo α situado en el primer cuadrante.  

1.      Ángulos complementarios

2. Ángulos que difieren 90º

 

 

3. Ángulos suplementarios

4. Ángulos que difieren 180 º

 

5. Ángulos opuestos

EJERCICIOS

Solución

4.Resolución de triángulos rectángulos

Cuando decimos resolver un triángulo nos referimos a conocer sus tres lados a,b y c y sus tres ángulos

Para resolverlos utilizaremos:
- Teorema de Pitágoras   c²=a²+b²      

-  Las relaciones entre lados y ángulos: 

    

EJERCICIOS 

1- Resuelve un triángulo rectángulo del que se conocen el cateto b=10 cm y la hipotenusa c=15 cm.

2- Para determinar la altura de un poste, un observador se coloca a 3 m de su pie y ve el poste bajo un ángulo de 50°. Calcula la altura del poste.

Solución

5. Resolución de triángulos cualesquiera 

Para resolver los triángulos que no son rectángulos, utilizaremos 

 

  y los siguientes teoremas. 

Teorema del seno 

Los lados de un triángulo cualquiera son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos.

Teorema del coseno 
En un triángulo cualquiera, el cuadrado de un lado es igual a la suma
de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble de dichos lados por el coseno del ángulo que forman.

EJERCICIOS

1- Resuelve un triángulo en el que b=5 cm, A=45º y C=60º
2- Resuelve un triángulo en el que a=5 cm, b=8 cm y c=7 cm
Solución 

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