2º Bachillerato Álgebra Lineal

Matrices
Determinantes
Sistemas de ecuaciones lineales
Programación lineal

 

MATRICES
 

1. Definición

Llamamos matriz de orden mxn a un conjunto de elementos dispuestos en m filas y n columnas.

Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a₃₄ será el elemento de la fila 3 y columna 4.

2. Tipos de matrices

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila.

Ejemplo:

A=(1 2 3)

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna.

Ejemplo:

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz.

Ejemplo:

Matriz traspuesta: Es la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. Se representa como A^t.

Ejemplo:

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = A^t.

Ejemplo:

Matriz nula: Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos son nulos excepto los de la diagonal principal.

Ejemplo:

Matriz escalar: Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal son iguales.

Ejemplo:

Matriz identidad: Es una matriz cuyos elementos de la diagonal principal son 1.

Ejemplo:

Matriz Triangular: Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:
- Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal son todos nulos. 

Ejemplo:

- Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal son todos nulos. 
Ejemplo:

3. Operaciones con matrices

a) Suma y diferencia de matrices

Propiedades

1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)

2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)

3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)

4. A + (-A)=0 (-A es la matriz opuesta)

b) Producto de un número por una matriz

Propiedades
1. a (A + B) = a A + a B
2. (a + b)A = a A + b A

3. a [b A] = (a b) A

4. 1·A = A (elemento unidad)

c) Producto de matrices

Dos matrices A y B se pueden multiplicar si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. La matriz que se obtiene tendrá las mismas filas que A y las mismas columnas que B.

A_{m x n} x B_{n x p} = C_{m x p}

El elemento c_ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades

1. A·(B·C) = (A·B)·C

2.A·B ≠ B·A  El producto de matrices NO es conmutativo

3. A·I = I·A = A I es la matriz identidad, I y A son del mismo orden

4. A·(B + C) = A·B + A·C

Solución

4. Matriz inversa 
Una matriz A es inversible o regular si existe otra matriz B, tal que:

A·B = B·A = I

A esa matriz B la llamaremos inversa de A y se denota como A^-1

Propiedades

1. (A·B)^-1 = B^-1·A^-1

2. (A^-1)^-1 = A

3. (k·A)^-1 = k^-1·A^-1

4. (A^t)^-1=(A^-1)^t

Hay varios métodos para calcular la matriz inversa:

a) Por la definición

Multiplicamos la matriz dada por otra cuyos términos son incógnitas y lo igualamos a la matriz identidad.

Solución

b) Método de Gauss

Se trata de transformar la matriz dada en la identidad, todas esas transformaciones deberemos aplicarlos a la matriz identidad y obtendremos la matriz inversa.

Solución

c)  Mediante determinantes

Lo veremos más adelante.

5. Rango de una matriz

Se define el rango de una matriz, como el número de filas o columnas linealmente independientes, es decir, que no se pueden poner como combinación lineal de las demás.

Para calcular el rango de una matriz utilizaremos el método de Gauss:

Consiste en hacer cero los elementos que quedan bajo la diagonal principal, mediante las transformaciones que vimos antes para calcular la matriz inversa.

Debemos tener en cuenta que podemos eliminar una fila si:

- Todos sus elementos son cero.

- Hay otra fila igual a ella.

- Es proporcional a otra fila.

- Es combinación lineal de otras filas.

También podemos calcular el rango de una matriz, mediante determinantes, pero lo veremos después.

Solución

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