PROBABILIDAD
1. Experimento
aleatorio
Un
experimento aleatorio es aquel que no se sabe
cuál será el resultado, pero conocemos todos sus posibles resultados de
antemano.
Por
ejemplo, al lanzar un dado, sabemos que nos va a salir un número del 1 al 6,
pero no cuál de ellos exactamente.
Llamamos
espacio muestral de un experimento aleatorio al
conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Se denota E.
Cada
uno de esos resultados recibe el nombre de suceso elemental.
Cualquier subconjunto del espacio muestral se llama suceso
aleatorio. Se denota como A, B…
También son
sucesos el suceso vacío o suceso imposible, Ø, y el propio E, suceso seguro.
Se define el suceso contrario de A como el suceso formado por todos los sucesos elementales
que no están en A. Se denota como Ac o Ᾱ.
EJERCICIO
Lanzamos
un dado, calcula:
a) Espacio muestral.
b) Sucesos elementales.
c) Suceso A= “sacar un número par”
d) Suceso B=“sacar múltiplo de 3”
Solución
Solución
EJERCICIO
Se hace
girar una ruleta, (del 0 al 12) y se anota el resultado, calcula:
a) Espacio muestral
b) Suceso A = “salir un número par”
c) Suceso B = “salir divisor de 12”
d) Suceso C = “salir número superior a 10”
Solución
a) Espacio muestral
b) Suceso A = “salir un número par”
c) Suceso B = “salir divisor de 12”
d) Suceso C = “salir número superior a 10”
Solución
1.2.
Operaciones con sucesos
Sean
dos sucesos A y B, se define:
Unión de
A y B, se denota como A U B, al suceso formado por todos
los elementos de A y todos los
elementos de B.
Intersección
de A y B, se denota como A ∩ B, al
suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y de B.
Diferencia de A y B, se
denota como A-B, al suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.
Dos sucesos A y B, se dice que son incompatibles cuando no tienen ningún elemento
común. Es decir, cuando A
∩ B = Ø.
En caso contrario,
diremos que son compatibles.
EJERCICIO
En un
experimento que consiste en lanzar un dado, se consideran los siguientes
sucesos A=“salir número par”, B=“salir múltiplo de 3”, calcula los sucesos
unión, intersección y diferencia.
Solución
Solución
EJERCICIO
Se lanzan
tres veces consecutivas una moneda, se consideran los siguientes sucesos:
A=“salir tres resultados iguales”, B=“salir al menos dos cruces”, calcula los sucesos A unión contrario de B, intersección y diferencia.
Solución
A=“salir tres resultados iguales”, B=“salir al menos dos cruces”, calcula los sucesos A unión contrario de B, intersección y diferencia.
Solución
1.3. Leyes
de De Morgan
Las leyes de
De Morgan dan la relación entre la unión e intersección de sucesos y sus complementarios.
EJERCICIO
En el
experimento aleatorio de lanzar una moneda tres veces se consideran los siguientes
sucesos:
A =
“sacar exactamente dos cruces”
B = “en la primera tirada salga una cruz”
a)
Obtener el espacio muestral y los sucesos A y B
b) Calcular
y explicar el significado de los sucesos:
Solución
EJERCICIO
En el
conjunto de los números naturales menores de 10 (excluido el 0) se definen los
subconjuntos A=“números menores de 5” y E=”números primos menores de 10”
Determinar los elementos que forman los siguientes conjuntos:
a) A U E
b) A ∩ E
c) Ā
d) Ē
e) Ā ∩ Ē
f) Ᾱ U Ē
SoluciónDeterminar los elementos que forman los siguientes conjuntos:
a) A U E
b) A ∩ E
c) Ā
d) Ē
e) Ā ∩ Ē
f) Ᾱ U Ē
2.
Probabilidad. Regla de Laplace.
La probabilidad del suceso A se define como el cociente entre el número de
resultados favorables a que ocurra el suceso A y el número de resultados posibles en dicho experimento:
Suponiendo
que todos los sucesos son equiprobables, es decir, que tienen la misma
probabilidad.
EJERCICIO
Se lanzan dos monedas y se anota el resultado, calcula:
a) Probabilidad de obtener al menos 1 cara.
b) Probabilidad de obtener 2 cruces.
Solución
Solución
EJERCICIO
Se considera un experimento aleatorio que consiste
en lanzar un dado. Se pide la probabilidad de obtener:
a) Número impar
b) Número primo
c) Múltiplo de tres
d) Múltiplo de cinco
Solución
a) Número impar
b) Número primo
c) Múltiplo de tres
d) Múltiplo de cinco
Solución
Propiedades de la probabilidad
EJERCICIO
De una baraja española
de 40 cartas se extrae una al azar. Calcular:
a) Probabilidad de
salir un as.
b) Probabilidad de
salir una copa.
c) Probabilidad de
salir el as de espadas.
d)
Probabilidad de salir un rey o un oro.
Solución
Solución
EJERCICIO
Tenemos dos urnas, en la
primera hay 5 bolas rojas, 4 blancas y 3 verdes. En la segunda hay 5 bolas rojas,
5 blancas y 7 verdes. Extraemos una bola de cada urna.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color?
b) ¿Y de que sean de distinto color?
Solución
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color?
b) ¿Y de que sean de distinto color?
Solución
3.
Probabilidad condicionada
En el cálculo de las
probabilidades de algunos sucesos, el valor de dicha probabilidad variará en
función del conocimiento de determinada información relativa a estos sucesos.
Para ello se define la probabilidad condicionada de un suceso A a un suceso B
como:
De
la misma forma se defina la probabilidad condicionada de B a un suceso A:
EJERCICIO
Una
bolsa contiene 8 bolas rojas y 6 blancas. Se extraen consecutivamente 4 bolas
de la bolsa. Hallar la probabilidad de que todas sean blancas:
a) Si
se extraen con reemplazamiento.
b) Si se
extraen sin reemplazamiento.
Solución
Solución
EJERCICIO
De una
urna que contiene 9 bolas rojas y 5 negras, se extraen sucesivamente 2 bolas.
Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Que
las dos sean negras
b) Que
las dos sean rojas
4. Independencia
de sucesos
Diremos que dos
sucesos A y B son independientes si se
cumple que:
EJERCICIO
Consideremos
el experimento de extraer cartas de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de
extraer dos reyes?
a) Sin
devolver la 1ª carta
5. Probabilidad total
Sea
A1…An un conjunto de sucesos incompatibles y
otro suceso cualquiera B, se define la probabilidad del suceso B como:
P(B)= P(A1) . P(B/A1) +
P(A2) . P(B/A2) +…+ P(An) . P(B/An)
EJERCICIO
Se
dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales
hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas
fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho.
¿Cuál
es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de
las cajas, esté fundida?
Solución
Solución
EJERCICIO
Se tienen dos urnas, la primera tiene 3 bolas blancas y 2 negras, la segunda tiene 2 bolas blancas y 3 negras. Se elige al azar una urna y de ella se extrae una bola. Calcular la probabilidad de que sea blanca.
Solución
Se tienen dos urnas, la primera tiene 3 bolas blancas y 2 negras, la segunda tiene 2 bolas blancas y 3 negras. Se elige al azar una urna y de ella se extrae una bola. Calcular la probabilidad de que sea blanca.
Solución
6. Teorema de Bayes
Sea
A1…An un conjunto de sucesos incompatibles y
otro suceso cualquiera B, se define la probabilidad P(Ai/B) como:
EJERCICIO
En una Universidad
existen tres facultades: A, B y C. En A hay matriculadas 150 chicas y 50
chicos; en B, 300 chicas y 200 chicos; y en C, 150 chicas y 150 chicos.
a) Calcula la
probabilidad de que un estudiante, elegido al azar, sea chico.
b) Si un estudiante elegido
al azar resulta ser chico, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la facultad B?
Solución
EJERCICIO
Se dispone de una baraja
española de 40 cartas. Se saca una carta, al azar, y, sin devolverla, se saca
otra, al azar.
a) Calcule la probabilidad de que ninguna de las dos cartas sea de oros
b) Sabiendo que la 2ª carta extraída ha sido de oros, calcule la probabilidad de que también lo haya sido la primera
Solución
a) Calcule la probabilidad de que ninguna de las dos cartas sea de oros
b) Sabiendo que la 2ª carta extraída ha sido de oros, calcule la probabilidad de que también lo haya sido la primera
Solución
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