1º Bachillerato Geometría

Vectores en el plano
Geometría analítica plana. Problemas métricos
Cónicas

 VECTORES EN EL PLANO.

1. Definición 

Un vector fijo es un segmento orientado, tiene su origen en un punto A y su extremo en otro punto B.

Estos vectores constan de:

     - Módulo: es la longitud del segmento.

     - Dirección: es la de la recta que pasa por esos dos puntos. 
- Sentido: el vector va de A hacia B o de B hacia A.

Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

Cada conjunto formado por todos los vectores equipolentes entre sí se llama un vector libre.

Cada vector fijo de este conjunto es un representante del vector libre.

2.  Operaciones con vectores  

Suma de vectores

Para sumar gráficamente dos vectores libres existen dos opciones:

    1) Trasladamos el segundo vector, haciendo coincidir su origen con el extremo del primero. El vector suma, será el vector que une el origen del primero con el extremo del segundo.

      2) Otra forma es la conocida regla del paralelogramo:
    Se unen los vectores por su origen, trazando desde los extremos de  cada vector paralelas a los vectores. El vector suma será el vector que une el origen común de los vectores con el punto de corte de las paralelas.

Resta de vectores
Para restar dos vectores libres, se suma uno con el opuesto del otro.

Producto de un número por un vector
Al multiplicar un vector libre por un número real k se obtiene otro vector libre de la misma dirección que el anterior, módulo multiplicado por k, y mismo sentido, si k es positivo y opuesto, si k es negativo.

EJERCICIO

Solución

3. Combinación lineal de vectores 

Un vector w es combinación lineal de los vectores u y v si existen dos números a y b tal que:             

                                                       w = a ^. u + b ^.v

Varios vectores se dice que son linealmente dependientes si se pueden expresar como combinación lineal de los demás, en caso contrario, se dice que son linealmente independientes.

Dos vectores forman una base si cualquier vector se puede poner como combinación lineal de ellos.

De todas las bases del plano, trabajaremos con la base canónica, cuyos vectores son perpendiculares entre sí, miden lo mismo y son unitarios, es decir, miden 1.   

Los vectores de esta base son i = (1,0) y j = (0,1).

EJERCICIOS

1- Dados los vectores u = (1,-2) y v = (-3,5), halla el vector w = 2u-4v 

2- El vector w = (1,3), ¿se puede expresar como combinación lineal de u =(1,1) y v = (1,2)?
Solución

4. Módulo y producto escalar
Módulo

EJERCICIO

Dado el vector u = (1, 3)
a) Calcula su módulo.

b) Calcula un vector paralelo a él y unitario.

c) Calcula un vector paralelo a él y de módulo 2.
Solución

Producto escalar

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta del producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman:

Geométricamente, el producto escalar de dos vectores es el módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Propiedades del producto escalar:

EJERCICIO

Dado los vectores u = (1,-1) y v = (3,-4), calcula:

a) Su producto escalar.

b) El ángulo que forman.

c) Calcular m para que el vector w = (m,1) sea ortogonal a u. 
Solución

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