Estadística

1. Definiciones

La estadística descriptiva tiene como objetivo recoger, analizar, y organizar un conjunto de datos en tablas y gráficos para calcular unos valores que representen a dicho conjunto.

La estadística estudia las propiedades o cualidades de un colectivo al que llamamos población. Si la población es muy grande tomamos una parte representativa de ésta a la que llamaremos muestra.

Se define el carácter estadístico como la propiedad que permite clasificar a los individuos de una población. Puede ser de dos tipos:

-  Carácter cualitativo: no se pueden medir, como el color de ojos, profesión…

-  Carácter cuantitativo: si se pueden medir, como número de hijos, altura, peso…

El conjunto de valores que puede tomar este carácter se llama variable estadística.

Las variables estadísticas son de dos tipos:

-  Variable estadística discreta: cuando toman valores puntuales, por ejemplo, el número de alumnos.

- Variable estadística continua: cuando puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, por ejemplo, los km recorridos por un coche.

2.      Tablas de frecuencias

Consideramos una población de n individuos, de los que estudiaremos un carácter estadístico A que puede tomar k valores posibles A₁, A₂…A_k

Frecuencia absoluta: es el número de individuos que presentan cada valor de la variable. Se representa como f_i

Frecuencia relativa: es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de individuos. Se representa como h_i y se calcula h_i = f_i  / n

Frecuencia absoluta acumulada: se obtiene sumando la frecuencia absoluta de cada fila con las anteriores, se representa como F_i

Frecuencia relativa acumulada: se obtiene sumando la frecuencia relativa de cada fila con las anteriores, se representa como H_i 
Si la variable estadística es continua hay que agrupar los valores en intervalos, al punto medio de cada uno se le llama marca de clase y se representa como x_i

EJERCICIOS
1- Supongamos que tiramos un dado 10 veces y se obtienen los siguientes resultados: 1, 2, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 5 y 3. Calcula la frecuencia absoluta, relativa y las frecuencias acumuladas.

2- Se anota la altura de 10 personas: 166, 158, 175, 179, 169, 172, 162, 168, 171 y 177. Calcula la frecuencia absoluta, relativa y las frecuencias acumuladas.
Solución

EJERCICIO
Completa los datos que faltan en la siguiente tabla, donde f_i , F_i y h_i son la frecuencia absoluta, acumulada y relativa.

Solución

 

3.      Representaciones gráficas 
Los gráficos estadísticos nos permiten obtener una idea visual y global de la distribución de los datos. Los más usados son los siguientes:

a) Diagrama de barras: Tienen una base constante y la altura es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente, las barras deben estar separadas. Se utilizan para variables cualitativas y cuantitativas discretas.

b) Diagrama de sectores: Dividimos un círculo en sectores de área proporcional a cada frecuencia absoluta. Para ello, mediante regla de 3, calculamos el ángulo correspondiente a cada sector. Se utilizan para variables cualitativas y cuantitativas discretas.

360 ^o ---  n

 α    ---   f_i

c) Histograma: Se construyen rectángulos que tienen como base la amplitud del intervalo y su altura es la frecuencia absoluta del intervalo correspondiente. Se utilizan para variables continuas y discretas.

d)  Polígono de frecuencias: Se construye a partir del diagrama de barras o del histograma, uniendo los puntos medios de la parte superior de cada rectángulo.

e) Pictogramas: Son dibujos referidos al carácter estadístico estudiado, donde el tamaño de los mismos es proporcional a las frecuencias absolutas correspondientes.

EJERCICIOS
1- Se pregunta a 12 alumnos el número de hermanos que tienen y contestan 0, 1, 2, 3, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 3 y 2. Construye la tabla y representa los datos en un diagrama de barras y de sectores.
2- Se obtienen las siguientes notas en una clase de 20 alumnos: 6, 7, 9, 2’5, 4, 8’5, 7, 6’5, 9, 8, 3’5, 4’5, 5, 6, 7, 9’5, 8, 6’5, 3 y 7’7. Calcula su tabla de frecuencias y representa el histograma y polígono de frecuencias.

Solución


 

EJERCICIO
El número medio de días que practican deporte un grupo de personas es:

4 2 3 1 3       7 1 0 3 2

6 2 3 3 4       6 3 4 3 6

Haz una tabla de frecuencias y represéntala gráficamente. 
Solución

4.      Medidas características

Para estudiar una distribución de frecuencias, conviene dar algunas medidas objetivas que describan el comportamiento de los datos. Esas medidas se agrupan en las siguientes categorías:

a)      Medidas de centralización:

Son aquellos valores que representan a la distribución de frecuencias en su conjunto.

- Media aritmética: es la suma de todos los valores de la variable, dividido por el número de ellos.

- Mediana: es el valor de la variable que divide en dos partes iguales los individuos de la población, una vez ordenados estos de menor a mayor.

Calculamos N/2, la mediana será el valor xi de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada, F_i, sobrepase N/2.

Si la variable es continua se calcula de la siguiente forma:

- Moda: es el valor de la variable que más se repite, es decir, el que presenta mayor frecuencia absoluta, f_i.

Si la variable es continua se calcula de la siguiente forma:

b)      Medidas de posición:

 Estas medidas dan los valores de algunas posiciones de interés en el conjunto de los datos.

- Cuartiles: Si en lugar de partir la totalidad de los individuos en dos mitades (mediana), lo hacemos en cuatro partes iguales, obtenemos los cuartiles.

Q₁: calculamos N/4 y nos quedamos con el primer valor de F_i que sobrepase dicho valor, Q₁ será el valor que tome x_i en esa fila.

Q₂: este valor coincide con la mediana.

Q₃: calculamos 3N/4 y nos quedamos con el primer valor de F_i que sobrepase dicho valor, Q₃ será el valor que tome x_i en esa fila.
Si la variable es continua se calcula de la siguiente forma:

 - Deciles: Dividen los datos en diez partes iguales.

Hay 10 deciles y se calculan como los cuartiles pero para cada decil D_k calculamos kN/10
Si la variable es continua se calcula de la siguiente forma:

- Percentiles: Dividen los datos en cien partes iguales.

Hay 100 percentiles y se calculan como los cuartiles pero para cada percentil P_k calculamos kN/100
Si la variable es continua se calcula de la siguiente forma:

EJERCICIOS

1- Dada la siguiente distribución del número de hijos de 100 familias, calcular la media , Me, Mo, Q₁, Q₂, Q₃, D₁₀ y P₇₀.

2- De una ciudad, se ha tomado una muestra sobre la renta percibida. La información recogida es la siguiente:

 Calcular la media, Me, Mo, Q₁, D₅ y P₉₀. 
Solución

EJERCICIO
En la siguiente distribución:

Calcula la media, Me, Mo, Q₁, Q₃, P₈₀ y P_90
Solución

EJERCICIO 
Un test de 80 preguntas ha sido realizado por 600 personas. El número de respuestas correctas se refleja en esta tabla:

 

Calcula la media, Me, Mo, Q₁, Q₃, P₂₀ y P₈₅
Solución


c)      Medidas de dispersión:

Estas medidas indican si los datos están más o menos agrupados en torno a un valor central. Los datos estarán más agrupados, cuanto más cerca de cero esté el valor de la medida.

- Rango o recorrido: es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable.

- Varianza: es la media de los cuadrados de las diferencias respecto a la media.

-  Desviación típica: es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

-  Coeficiente de variación de Pearson: permite comparar varias distribuciones y ver cuál está más dispersa respecto de la media se define como:

 

EJERCICIO

Dada la siguiente distribución del número de hijos de 100 familias:

Calcular varianza, desviación típica y coeficiente de variación.
Solución



EJERCICIO 
Un test de 80 preguntas ha sido realizado por 600 personas. El número de respuestas correctas se refleja en esta tabla:

 

Calcula la varianza, desviación típica y coeficiente de variación.
Solución

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