Aplicaciones de la derivada

1. Regla de L’Höpital 

Esta regla sirve tanto para indeterminaciones de 0/0 como para ∞/∞

 

Solución

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2. Monotonía

Para estudiar la monotonía de una función, debemos seguir los siguientes pasos:
1º Calcular el dominio.

2º Calcular la derivada, igualarla a 0, para obtener los puntos singulares.

3º Colocar en una recta los puntos que no están en el dominio si los hubiera y los puntos singulares del apartado anterior. La recta quedará dividida en intervalos.

4º Tomar un punto de cada intervalo y lo sustituimos en la primera derivada:

 Si f ’(a) > 0  entonces la función es creciente en ese intervalo.

Si f ’(a) < 0  entonces la función es decreciente en ese intervalo.

Solución

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3. Extremos relativos

Para hallar los extremos seguiremos los siguientes pasos:

1º  Hallamos la primera derivada, la igualamos a cero y resolvemos para calcular sus raíces.

2º Calculamos la segunda derivada y sustituimos las raíces, que  hemos obtenido, si:

            f’’(a) < 0 es un máximo relativo

           f’’(a) > 0 es un mínimo relativo

3º Calculamos la segunda coordenada de los extremos, sustituyéndolos en f(x).   

 

Solución

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4. Curvatura 

Para calcular los intervalos donde la función es cóncava o convexa, seguiremos lo siguientes pasos:

1. Hallamos f’’(x) y calculamos f’’(x)=0.

2. Hacemos intervalos abiertos con las raíces de f’’(x) y los puntos que no están en el dominio de la función, si los hubiera.

3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en f’’(x).

Si  f''(a)>0 entonces f es convexa en ese intervalo.

Si f''(a)<0 entonces f es cóncava en ese intervalo.

 

   
Solución

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5.  Puntos de inflexión

Para hallar los puntos de inflexión seguiremos los siguientes pasos:

1º Hallamos la segunda derivada y calculamos sus raíces.

2º Calculamos la tercera derivada y sustituimos las raíces que hemos obtenido, si:

f’’’(a) ≠ 0 es un punto de inflexión

3º Calculamos la segunda coordenada, sustituyendo las raíces en f(x).

Solución

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6. Optimización de funciones

En ocasiones debemos calcular el máximo o mínimo de una función, para maximizar beneficios, minimizar el coste o el tiempo de fabricación de un determinado producto…

A este tipo de problemas se les llama problemas de optimización, para resolverlos seguiremos estos pasos:

1. Obtener la función f de la que debemos calcular el máximo o mínimo.

2. Si es una función que depende de dos variables, buscaremos datos en el problema que nos permitan relacionarlas, para poder expresar la función en una sola variable.

3. Derivar la función e igualarla a cero para obtener los extremos.

4. Calcular la 2ª derivada para comprobar si el extremo es un máximo o mínimo.

EJERCICIO

Se dispone de 400 metros de alambrada para vallar un solar rectangular. ¿Qué dimensiones deberá tener el solar para que con esa alambrada se limite la mayor área posible? 
Solución

EJERCICIO

Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta 80 €/m y la de los otros lados 10 €/m, halla el área del mayor campo que puede cercarse con 28800 €. 
Solución

EJERCICIO

De un solar rectangular de 12800 m² se quieren hacer 3 parcelas iguales y vallarlas. Determina las dimensiones de las parcelas para que la longitud de la valla utilizada sea mínima.
Solución

 

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