Problemas métricos en el espacio

 1. Ángulos

El ángulo formado por dos vectores cualesquiera viene dado por:

Si se trata de dos rectas, tomaremos sus vectores directores para calcular el ángulo, si tenemos dos planos, sus vectores normales y si tenemos recta y plano, pues el vector director de la recta y el normal del plano, pero el ángulo que buscamos es el complementario de éste, así que debemos hacer 90-α.

Solución

Solución



2. Producto vectorial y producto mixto

Dados dos vectores u (u₁, u₂, u₃) y v (v₁, v₂, v₃), llamaremos producto vectorial, a otro vector u x v que se define como sigue:

EJERCICIO

Calcula el producto vectorial de los vectores (5, -1, 6) y (2, 3, 0)
Solución

Dados tres vectores u (u₁, u₂, u₃), v (v₁, v₂, v₃) y w (v₁, v₂, v₃), se define el producto mixto como:

EJERCICIO

Calcula el producto mixto de los vectores (3, -2, 4), (8, 3, -1) y (0, 1, 0)
Solución

3. Distancias

a) Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos P y Q, es el módulo del vector que los une:

b) Distancia de un punto a una recta

Para calcular la distancia del punto P a la recta r, debemos hacer lo siguiente:

1º Calcular un plano perpendicular a r que pase por P, tomaremos el vector director de r como vector normal del plano.

2º Calculamos el punto de corte Q, de r y el plano.

3º Calculamos la distancia de P a Q.

Otra forma de calcular la distancia de un punto P a una recta, siendo A un punto de la recta y u su vector director, sería aplicando esta fórmula:

Solución

Solución




c) Distancia de un punto a un plano

Para calcular la distancia del punto P al plano П, debemos hacer lo siguiente:

1º Calcular una recta perpendicular al plano que pase por P, para ello tomaremos el vector normal del plano como vector director de r.

2º Calculamos el punto de corte Q, de r y el plano.

3º Calculamos la distancia de P a Q.

Otra forma de calcular la distancia del punto P (x_o, y_o, z_o) al plano П ≡ A x + B y + C z + D = 0 es utilizando la siguiente fórmula:

Solución

EJERCICIO

Calcula la distancia del punto P (2, 3, 1) al plano П ≡  x + y – 3 = 0
Solución

d) Distancia entre dos planos paralelos

Cogemos un punto cualquiera de uno de los planos y calcular su distancia al otro, usando cualquiera de los dos procedimientos anteriores.

e) Distancia entre recta y plano paralelos

Cogemos un punto cualquiera de la recta y calculamos su distancia al plano, usando cualquiera de los procedimientos anteriores.

f) Distancia entre dos rectas paralelas
Cogemos un punto cualquiera de una de las rectas y calcular su distancia a la otra, usando cualquiera de los procedimientos del apartado b).

g) Distancia entre dos rectas que se cruzan
Sea una recta r definida por el punto A y el vector u y otra recta s, definida por el punto B y el vector v, entonces:

 

Solución

Solución

 4. Simétricos

a) Simétrico de un punto respecto de otro

Supongamos que quiero calcular el simétrico P’(x, y, z) del punto P (p₁, p₂, p₃), respecto al punto Q 
(q₁, q₂, q₃). Entonces Q sería el punto medio de P y P’, luego:

Despejando x, y y z, obtengo las coordenadas del punto P’.

EJERCICIO

Halla el punto simétrico del punto A (2, 0, -1) respecto del punto B (-3, 6, 0) 
Solución

b) Simétrico de un punto respecto de una recta

Debemos hacer lo siguiente:

1º Obtener un plano П, perpendicular a r que pase por P.

2º Calculamos el punto de corte de r y П.

3º Calculamos el simétrico de P respecto de ese punto de corte.

Solución

Solución

c) Simétrico de un punto respecto de un plano

Debemos hacer lo siguiente:

1º Obtener una recta r, perpendicular al plano П y que pase por P.

2º Calculamos el punto de corte de r y П.

3º Calculamos el simétrico de P respecto de ese punto de corte.

 

Solución

EJERCICIO

Halla el punto simétrico del punto P (2, -1, 5) respecto del plano П ≡ 2x + y – z + 8 = 0
Solución

 

5. Áreas y volúmenes

Área de un paralelogramo

Sea un paralelogramo de vértices A, B, C y D, su área es:

Área de un triángulo

Sea un triángulo de vértices A, B y C, su área es:

Volumen de un tetraedro

Sea un tetraedro de vértices A, B, C y D, su volumen es:

EJERCICIO

Dados los puntos A (3, 2, 1), B (1, 2, 4), C (4, 0, 3) y D (1, 1, 7). Calcula:

a) El área del paralelogramo formado por los vértices A, B, C y D.

b) El área del triángulo formado por los vértices A, B y C.

c) El volumen del tetraedro formado por los vértices A, B, C y D. 
Solución

EJERCICIO

Dados los puntos A (1, 2, -1), B (3, 1, 3), C (2, -3, 5) y D (6, -4, 1). Calcula:

a) El área del paralelogramo formado por los vértices A, B, C y D.

b) El área del triángulo formado por los vértices A, B y C.

c) El volumen del tetraedro formado por los vértices A, B, C y D.
Solución

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