Rectas y planos en el espacio

1. Vector que une dos puntos

Dados dos puntos A= (a₁, a_2, a₃) y B = (b₁, b₂ , b₃), el vector que los une viene dado por:

AB = (b₁-a_1,  b₂-a_2,  b₃-a₃)

2. Punto medio de un segmento

Dado un segmento de extremos A= (a₁, a_2, a₃) y B = (b₁, b₂ , b₃), las coordenadas del punto medio de dicho segmento son:

3. Punto simétrico de un punto respecto de otro

Para calcular el punto simétrico de un punto respecto de otro podemos utilizar la idea de punto medio. Si queremos calcular A' = (x, y, z), que es el simétrico de A = (a₁, a_2, a₃) respecto de M = (b₁,b_2, b₃), entonces M será el punto medio de A  y A' . De esta forma:

De estas ecuaciones despejamos x e y, tenemos las coordenadas de A’.

EJERCICIO

Dados los puntos A(1,-3,5), B(0,7,2), C(-1,5,6), calcular:

a) El módulo del vector AB.

b) El punto medio del lado BC.

c) El simétrico de A respecto del punto medio de B y C.

Solución

EJERCICIO

Halla el punto medio de los puntos A (2, 3, -1) y B (-3, 6, 1) y el simétrico de A respecto de B.
Solución

 

4. Ecuaciones de la recta en el espacio

Sea P (p₁, p₂, p₃ ) un punto por el que pasa la recta y sea u (u₁, u₂, u₃ ) su vector director.

Las distintas ecuaciones de la recta son:

EJERCICIO

Calcular las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A (2, -1, 3) y cuyo vector director es u (1, 2, -1)

Solución



EJERCICIO
Calcula las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A (3, 2, 0) y B (1, -1, 2)
Solución

5. Ecuaciones del plano en el espacio

Sea P (p1, p2 , p3 ) un punto por el que pasa el plano y sean u (u1, u2 , u3) y v (v1, v2 , v3) sus vectores directores.

Las distintas ecuaciones del plano son:

 

EJERCICIO

Calcula las ecuaciones del plano que pasa por el punto A(2, -1, 3) y cuyos vectores directores son u (1, 2, -1) y v (0, 3, 1)
Solución


EJERCICIO
Calcula las ecuaciones del plano que pasa por el punto A( 3, 1, 2) y cuyos vectores directores son u (4, -1, 2) y v (-2, 0, 1)
Solución

 

6. Vector normal del plano

Dado el plano de ecuación ax + by + cz + d = 0, el vector normal es n (a, b, c), es un vector perpendicular a dicho plano.

A partir de este vector normal y un punto P (p1, p2, p3 ) por el que pasa el plano, podemos obtener su ecuación de la siguiente forma:

a(x-p₁)+b(y-p₂)+c(z-p₃)=0

EJERCICIO

Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto A(2, -1, 3) y cuyo vector normal es u (1, 2, -1)

Solución

EJERCICIO

Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto A(0, 3, 2) y cuyo vector normal es u (6, 1, 0)
Solución

7. Posición relativa de dos rectas en el espacio

Supongamos que tenemos la recta r que pasa por el punto  P (p₁, p₂, p₃ ) y cuyo vector director es u (u₁, u₂, u₃ ) y la recta s que pasa por Q (q₁, q₂, q₃) cuyo vector es v (v₁, v₂, v₃), para saber la posición de las rectas:

1º Comparamos sus vectores directores, si son iguales o proporcionales, las rectas pueden ser paralelas o coincidentes.
Tomamos un punto de una recta y lo sustituimos en la otra, si el punto está en la recta, entonces serán coincidentes y si no, paralelas.

2º Si los vectores no son proporcionales, las rectas pueden ser secantes o se cruzan.
Calculamos un determinante formado por los vectores de las dos rectas y el vector que va de un punto de una recta a la otra, es decir, PQ:

Si el determinante es 0, las rectas son secantes y si no, se cruzan.

Solución

  

Solución

8. Posición relativa de dos planos en el espacio

Supongamos que tenemos dos planos:

 П ≡ ax + by + cz + d = 0 y П’≡ a’x + b’y + c’z + d’ = 0

Calculamos el rango de la matriz A y su ampliada A':

 

Si rango A = rango A’ = 1  entonces los planos son coincidentes.

Si rango A = 1 ≠ rango A’ = 2   entonces los planos son paralelos.

Si rango A = rango A’ = 2  entonces los planos son secantes. En este caso, la recta en la que se cortan es la formada por los dos planos.

EJERCICIO

Estudia la posición relativa de los siguientes planos:
П ₁ ≡ -5x+3y-7z+9=0 y П ₂ ≡ = -3x+4y+2z-4=0 
Solución

EJERCICIO

Estudia la posición relativa de los siguientes planos:

П ₁ ≡ x+y-5z+4=0 y П ₂ ≡ = -3x-3y+5z-1=0 
Solución

9. Posición relativa de recta y plano en el espacio 
Supongamos que tenemos la recta dada por los planos:

 

Calculamos el rango de la matriz A y su ampliada, entonces:
Si rango A = rango A’ = 2         la recta está contenida en el plano.

Si rango A = 2 ≠ rango A’ = 3   la recta y el plano son paralelos.

Si rango A = rango A’ = 3         la recta y el plano son secantes.

Solución

Solución


10. Posición relativa de tres planos en el espacio

Calculamos el rango de la matriz A, formada por los coeficientes de los tres planos y la matriz ampliada A’, entonces:

Si rango A = rango A’ = 1     entonces los planos son coincidentes.

Si rango A = 1 y rango A’ = 2   entonces los planos son paralelos, o dos de ellos coincidentes.

Si rango A = rango A’ = 2         entonces los planos se cortan en una recta.

Si rango A = 2 y rango A’ = 3  entonces los planos se cortan en una recta dos a dos o hay dos paralelos y el tercero corta a ambos.

Si rango A = rango A’ = 3         entonces los planos se cortan en un punto. 


EJERCICIO

Estudia la posición relativa de los siguientes planos:
Π₁: x −2y + 3z = 4, Π₂: 2x + y + z + 1 = 0 y Π₃: −2x + 4y −6z = 0 

Solución

EJERCICIO

Estudia la posición relativa de los siguientes planos:

Π₁: x + y = 1, Π₂: y + z = 1 y Π₃: 2x + y + z = 0 
Solución

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