Programación lineal

La programación lineal es una parte de las matemáticas relativamente reciente, cuyo objetivo principal es resolver situaciones, en las que se pretende optimizar determinada función sujeta a ciertas condiciones.

En un problema de programación lineal intervienen:

a) La función f(x,y) = ax + by llamada función objetivo y que es necesario optimizar. Donde x e y son las variables,  a y b son constantes.

b) Las restricciones, vienen dadas por inecuaciones lineales.

c) La región factible, es el conjunto de valores de x e y que verifican todas las restricciones.

d) La solución óptima del problema será un valor (x₀, y₀) de la región factible que haga que f(x,y) tome el valor máximo o mínimo.

Los pasos para resolver un problema de programación lineal son:

1. Dibujar la región factible, que viene dada por las distintas  restricciones que nos den.

2. Calcular los vértices de la región factible, es decir, los puntos de corte de las rectas que la  forman.

3. Sustituir los vértices en la función objetivo. Donde valga más se alcanzará el máximo y donde valga menos será el mínimo, obteniendo así la solución óptima, que dependerá de lo que nos pidan en cada caso.

EJERCICIO

Una fábrica de cajas de cartón hace dos tipos de cajas. Unas cajas con base cuadrada, que dejan un beneficio de 0,12 € la unidad, y en las que gasta 2 m de cinta adhesiva y 0,5 m de rollo de cartón, y otras de base rectangular, que dejan un beneficio de 0,08 € la unidad, y en las que gasta 4 m de cinta adhesiva y 0,25 m de rollo de cartón.

Si la fábrica dispone de 440 m de cinta adhesiva y 65 m de rollo de cartón, ¿cuántas cajas de cada tipo debe fabricar para que el beneficio sea máximo? 
Solución

EJERCICIO

Cierta sala de espectáculos tiene una capacidad máxima de 1500 personas, entre adultos y niños. El número de niños asistentes no puede superar los 600. El precio de la entrada a una sesión de un adulto es de 4,8 €, mientras que la de un niño es de un 40% menos. El número de adultos no puede superar al doble del número de niños.

Cumpliendo las condiciones anteriores, ¿cuál es la cantidad máxima que se puede recaudar por la venta de entradas? ¿Cuántas de las entradas serán de niños? 
Solución

EJERCICIO

Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con plazas suficientes de pasaje y carga, para transportar 1600 personas y 96 toneladas de equipaje.

Los aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratación de un avión del tipo A cuesta 24000 € y puede transportar 200 personas y 6 toneladas de equipaje; la contratación de uno del tipo B cuesta 6000 € y puede transportar 100 personas y 15 toneladas de equipaje. ¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el coste sea mínimo? 
Solución

EJERCICIO

Se considera el recinto R del plano determinado por las siguientes inecuaciones:

5x-4y ≤ 20, x+8y ≤ 48, x ≥ 2, y ≥ 0

a) Representa gráficamente el recinto R y calcula sus vértices.
b) Halla los valores máximo y mínimo que alcanza la función F(x, y)= 2x+12y en este recinto e indica dónde se alcanzan.

c) Razona si existen valores (x, y) que pertenezcan al recinto para los que F(x, y)=100
Solución

 

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