Sistemas de ecuaciones lineales

1. Introducción

Un sistema de ecuaciones lineales es de la siguiente forma:

 

Donde x_i son las incógnitas, a_ij los coeficientes y b_i los términos independientes.

La matriz asociada a dicho sistema de ecuaciones lineales es:

Una solución del sistema es un conjunto de valores que verifican todas las ecuaciones. Diremos que dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

2. Tipos de sistemas de ecuaciones lineales

Según el número de soluciones que tenga el sistema, se clasifican en:

Si no tiene solución: Sistema incompatible

Si tiene una única solución: Sistema compatible determinado

Si tiene infinitas soluciones: Sistema compatible indeterminado

3. Sistemas escalonados

Un sistema escalonado es de la siguiente forma:

4. Método de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar el sistema de ecuaciones en un sistema escalonado. Debemos hacer 0 los coeficientes de las incógnitas que estén bajo la diagonal principal.

Una vez que obtengamos el sistema escalonado, según la forma que tenga podremos saber de qué tipo es el sistema:

X es cualquier número distinto de cero

Solución

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5. Regla de Cramer

Para poder aplicar este método, el sistema debe tener el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la matriz de los coeficientes asociada debe ser distinto de cero.

Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

 

Debemos obtener su matriz de coeficientes asociada:

  

Y calcular el determinante de la matriz de sus coeficientes sin la columna de los términos independientes, el cual debe ser distinto de cero:

 

Entonces aplicando la regla de Cramer, sus soluciones son:

Solución

Solución

6. Teorema de Rouché-Fröbenius

Este teorema sirve para clasificar los sistemas de ecuaciones, para ello debemos calcular el rango de las matrices A y A’. A es la matriz de sus coeficientes y A’, es la matriz ampliada, es decir, la matriz que se obtiene cuando le añado a la matriz A una columna formada por los términos independientes.

Sea el siguiente sistema de ecuaciones 

Cuando tengamos el rango de cada matriz:

Si rango(A) = rango(A’) = n   =>  el sistema es compatible determinado

Si rango(A) = rango(A’) < n   =>  el sistema es compatible indeterminado

Si rango(A) ≠ rango(A’)          => el sistema es incompatible
Donde n es el número de incógnitas.

Una vez que sepamos qué tipo de sistemas es, lo podemos resolver por Gauss o Cramer.

 


    

Solución

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7. Sistemas homogéneos

Un sistema es homogéneo cuando todos sus términos independientes son cero. Este tipo de sistemas son siempre compatibles, porque siempre admiten como solución la trivial, es decir, (0,0,0….0)

Se resuelven igual que todos los sistemas.

 

Solución

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8. Discusión de sistemas con parámetros

Puede ocurrir que los sistemas presenten en las incógnitas o términos independientes valores desconocidos, a los que llamaremos parámetros.

En estos casos, discutir el sistema consiste en hallar el valor de dichos parámetros, para los cuales el sistema puede ser compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. Podemos hacerlo mediante el método de Gauss o el teorema de Rouché-Fröbenius.

 






Solución

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