Determinantes

1. Definición y tipos

Toda matriz tiene asociado un número llamado determinante de A, se denota como det(A) o |A|.

Determinante de orden 1:

Determinante de orden 2:

 

Determinante de orden 3:

Solución 

Determinante de orden superior a 3:

Se define el menor complementario de un elemento a_ij como el valor del determinante que se obtiene al eliminar en la matriz la fila i y columna j.

Se define el adjunto de un elemento a_ij como su menor complementario, precedido del signo:

+ si i+j es par

- si i+j es impar

A la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto, se le llama matriz adjunta, se denota como Adj(A).

El valor de un determinante de orden superior a 3 es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila (o columna) por sus adjuntos.

Por ejemplo si desarrollamos por los elementos de la fila i, sería:

Una forma de facilitar el cálculo, es hacer todos los elementos de una fila o columna cero, excepto 1 y así solo habría que hacer un adjunto.

Solución

2. Propiedades de los determinantes

1. |A|=|A^t|

2. |A^.B|=|A|^.|B|

3. |A|=0 si:

- Tiene una fila o columna de ceros.

- Tiene dos filas o columnas iguales o proporcionales.

- Tiene una fila o columna que es combinación lineal de otras dos.

4. Si intercambiamos entre sí dos filas o columnas, el determinante cambia de signo.

5. Si multiplicamos una fila o columna por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.

6. Si a una fila o columna se le suma una combinación lineal de otras paralelas, su determinante no varía.

7. Si todos los elementos de una fila o columna se descomponen como una suma de dos sumandos, su determinante se descompone de la siguiente forma:

 

Solución

EJERCICIOS

1- Sabiendo que M es una matriz cuadrada de orden 2 y que │M│ = 5, ¿qué puedes decir del determinante de M ³? ¿Y del determinante de 2M? Explica las propiedades de los determinantes que hayas aplicado en cada caso.

2- Sea A una matriz cuadrada de orden 3, sabemos que el determinante de 2A es 8, ¿cuánto vale el determinante de A? Escribe las propiedades de los determinantes que hayas usado para obtener ese valor.

3- Sea A una matriz cuadrada de orden 2 que cumple que 2A ² = A, calcula razonadamente los posibles valores del determinante de A.
Solución

Solución

Solución




3. Cálculo del rango de una matriz por determinantes
Se trata de calcular menores en la matriz, el rango será el orden del mayor menor que no sea nulo.

 

Solución

Solución




4. Cálculo de la matriz inversa por determinantes
Lo primero que debemos hacer es comprobar que el determinante de la matriz no sea 0, si es así podemos calcular la matriz inversa de la siguiente forma:

Solución

Solución






5. Ecuaciones matriciales

Se trata de ecuaciones cuyos términos son matrices, para despejar la matriz X, en lugar de dividir por ellas, lo que hacemos es multiplicar por la inversa por el lado que esté la matriz.

Ejemplo:

Solución

Solución

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