Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones

1. Ecuaciones cuadráticas y bicuadradas

Una ecuación de segundo grado es de la forma ax²+bx+c.
Se resuelve mediante la siguiente fórmula:

Al resolverla puede ocurrir que:

Ecuaciones cuadráticas incompletas

- Si b=0, despejamos x² y hacemos la raíz cuadrada de c.

- Si c=0, sacamos factor común y resolvemos la ecuación.

- Si b= 0 y c=0, la solución es 0.

Ecuaciones bicuadradas

Una ecuación bicuadrada es de la forma ax⁴+bx²+c Se resuelve mediante el siguiente cambio de variable x²=t, entonces x⁴=t².

EJERCICIO
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)  x²-6x=2x²
b)  3(x²-5)-33=0
c)  x²-x-2=0
d)  x⁴-3x²+2=0
Solución 

2. Ecuaciones con radicales

Las ecuaciones radicales son aquéllas cuya incógnita se encuentra dentro de una raíz, la forma de resolverlas, es dejar la raíz sola en un miembro y elevar los dos miembros al cuadrado. Una vez que la hemos resuelto debemos comprobar las soluciones.

EJERCICIO

Resuelve las siguientes ecuaciones:

Solución

3. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

3.1. Ecuaciones exponenciales

En este tipo de ecuaciones la incógnita está en el exponente. Para resolverlas seguimos los siguientes pasos:

1º Descomponemos la ecuación aplicando las propiedades de las potencias:

a^b+c=a^b.a^c
a^b-c=a^b:a^c
a^b.c=(a^b)^c
2º Aplicamos la siguiente propiedad:
- Si tienen la misma base:          a^b=a^c => b=c
- Si tiene el mismo exponente:  a^b=c^b => a=c

EJERCICIO

Resuelve las siguientes ecuaciones:

 












Solución

3.2. Ecuaciones logarítmicas

Para resolver ecuaciones logarítmicas, necesitamos conocer sus propiedades:

EJERCICIO 
Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)  log₂8=x
b)  log_x1000=3
c)  log₅x=3
d)  logx³=log4+2logx
e)  log4+2log(x-3)=logx 
Solución

4. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones

4.1. Inecuaciones de primer grado

Las inecuaciones de primer grado se resuelven igual que las ecuaciones, el resultado depende de la desigualdad de la inecuación.

EJERCICIO

Resuelve las siguientes inecuaciones:

 



Solución 
 

4.2. Inecuaciones de segundo grado

Para resolver estas inecuaciones, debemos seguir los siguientes pasos:

1º Descomponer la inecuación en factores

2º Trazamos una recta donde colocaremos los valores de las raíces y vemos si son solución de la inecuación o no, comprobando el signo que toman en la inecuación.

EJERCICIO

Resuelve las siguientes inecuaciones:

Solución 


4.3. Sistemas de inecuaciones

Si tenemos un sistema de inecuaciones debemos resolver cada inecuación por separado, la solución del sistema es la que cumpla ambas inecuaciones. 
EJERCICIO

Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

Solución


5. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

Para resolver sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, mediante el método de Gauss, significa transformar el sistema de ecuaciones en un sistema escalonado.

Seguiremos estos pasos:

1º Elegimos una de las ecuaciones, la  multiplicamos por el número apropiado para que al sumarla con la segunda ecuación, se nos anule el término en x.

2º Lo mismo que antes, pero ahora para anular la x de la tercera ecuación.

3º Con el sistema resultante, multiplicamos la segunda ecuación por un número para que al sumarse con la tercera ecuación, se nos anule el término en y.

4º Con el sistema ya escalonado, resolvemos las ecuaciones.

EJERCICIO

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
 




Solución

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