1.
Formas de expresar los números complejos
Hasta ahora no podíamos calcular la raíz de un
número negativo, porque no es un número real, por ello surgen los números
complejos.
Los imaginarios se denotan por la letra
Los imaginarios se denotan por la letra
Hay varias formas de expresarlos:
Forma binómica
Forma binómica
z=a+bi donde a representa la parte real y b la
imaginaria
Forma polar
z = r(cosα+isenα)
EJERCICIOS
1- Expresar de todas las formas el complejo z=1+2i
1- Expresar de todas las formas el complejo z=1+2i
2- Expresar de todas las formas el complejo z=8120o
Solución
EJERCICIOS
1- Expresar de
todas las formas el complejo z=2-3i
2- Expresar de
todas las formas el complejo z=645o
Solución
Opuesto y conjugado de un número complejo
Si el número complejo es z=a+bi:Su opuesto se denota –z y sería -z=-a-bi
EJERCICIO
Calcula el opuesto y conjugado de:
Calcula el opuesto y conjugado de:
a)
z = 4 + 3i
b)
z = 2 - i
c) z = -5 - 2i
d) z = -7 + 6i
Solución
c) z = -5 - 7i
d) z = 4 + 2i
Solución
Solución
EJERCICIO
Calcula el opuesto y conjugado de:
a) z = 6 -2i
b)
z = 8 + 2iCalcula el opuesto y conjugado de:
a) z = 6 -2i
c) z = -5 - 7i
d) z = 4 + 2i
Solución
2. Operaciones con
complejos en forma binómica
Suma y resta
Sumamos o restamos los términos de parte real por un
lado y los de parte imaginaria por otro.
EJERCICIO
Si z1 = 2 + 3i, z2 = 4 - 2i y z3 = - 5 +
i. Calcula:
a) z1 + z2 b) z1 - z3 c) z1 - z2 + z3
a) z1 + z2 b) z1 - z3 c) z1 - z2 + z3
Solución
EJERCICIO
Si z1 = 4 - 5i, z2 = 1 + 3i y z3 = - 3 +
2i. Calcula:
a) z1 - z2 b) z1 + z3 c) z1 - z2 + z3
Solución
a) z1 - z2 b) z1 + z3 c) z1 - z2 + z3
Solución
Producto
Multiplicamos todos los
términos, realizamos las sumas o restas y agrupamos el resultado en parte real
e imaginaria.
EJERCICIO
Si z1 = 2 + 3i, z2 = 4 - 2i y z3 = - 5
+ i. Calcula:
Cociente
Para realizar la división
debemos multiplicar y dividir el cociente por el conjugado del denominador.
EJERCICIO
Calcula:
Inverso
Para calcular el inverso de un número complejo multiplicamos y
dividimos por su conjugado:
dividimos por su conjugado:
EJERCICIO
Si z1 = 2 + 3i, z2 = 4 - 2i y z3 = - 5
+ i. Calcula:
a) z1-1 b) z2-1 c) z3-1
a) z1-1 b) z2-1 c) z3-1
3. Operaciones con
complejos en forma polar
Producto
Se multiplican los
módulos y se suman los argumentos.
Cociente
Se dividen los módulos y se restan los argumentos.
Se dividen los módulos y se restan los argumentos.
Potencia
Se eleva el módulo a
la potencia y el argumento queda multiplicado por el índice de la potencia.
EJERCICIO
Calcula:
a) 360ᵒ . 245ᵒ
Calcula:
a) 360ᵒ . 245ᵒ
b) 570ᵒ . 450ᵒ
c) 860ᵒ . 245ᵒ
d) 1290ᵒ . 630ᵒ
e) (525ᵒ )3
f) (230ᵒ )5
Soluciónc) 860ᵒ . 245ᵒ
d) 1290ᵒ . 630ᵒ
e) (525ᵒ )3
f) (230ᵒ )5
EJERCICIO
Calcula:
a) 430ᵒ . 290ᵒ
c) (855ᵒ )2
Solución
Raíces
Para calcular la raíz
n-ésima de un número complejo Rβ haremos:
Obtenemos tantas
soluciones como tenga el índice de la raíz n, las soluciones las expresaremos
como rα. Si se trata de una raíz de índice 3 y representamos sus
soluciones, al unir sus afijos obtendremos un triángulo, si es de índice 4 un
cuadrado, si es 5 un pentágono y así sucesivamente.EJERCICIO
Solución
EJERCICIO
Calcula las raíces sextas de -64.
Solución
4. Ecuaciones con números complejos
Se resuelven las ecuaciones, teniendo en cuenta que si obtenemos la raíz de un número negativo, ahora si existe, sería la raíz de ese número por i.
Ejemplo:
√-4 = √4 i = 2i
Ejemplo:
√-4 = √4 i = 2i
√ -6 = √6 i
EJERCICIO
Resuelve las siguientes ecuaciones:
EJERCICIO
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x3 - 6x2 + 21x – 26 = 0
a) x2 - 2x + 2 = 0
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