Geometria analítica plana. Problemas métricos

1. Sistema de referencia
Un sistema de referencia en el plano es el conjunto formado por un punto cualquiera P, llamado origen del sistema de referencia, y una base cualquiera.

Nosotros tomaremos como origen el punto O (0,0) y como base, la base canónica i=(1,0), j=(0,1) que forma un sistema de referencia ortonormal, llamado sistema de referencia canónico, SRC.

A las rectas que pasan por O en las direcciones de los vectores de la base se les llaman ejes de coordenadas.
Al eje OX se le llama eje de abscisas y al eje OY se le llama eje e ordenadas.

Cada punto del plano tiene asociado un vector fijo, llamado vector de posición.

2.  Vector que une dos puntos

Para calcular las coordenadas del vector que une dos puntos A = (x₁,y₁)  y B = (x₂,y₂), sólo tenemos que restar sus vectores de posición:

EJERCICIOS

1- Dado los puntos A = (6,-1) y B = (-3,2), calcula los vectores AB y BA
2- Calcula el perímetro de un cuadrado, sabiendo que dos de sus vértices consecutivos son los puntos A = (1,2)  y B = (8,2).
Solución

3. Punto medio de un segmento
Dado un segmento de extremos y, las coordenadas del punto medio de dicho segmento son:
 

EJERCICIO

Calcula el punto medio determinado por los puntos A = (6,-1) y B = (2,-5).
Solución

4.  Punto simétrico de un punto respecto de otro 

Para calcular el punto simétrico de un punto respecto de otro, podemos utilizar la idea de punto medio.

Si queremos calcular A’ = (x, y), que es el simétrico de A = (x₁,y₁) respecto de M = (x₂,y₂), entonces M será el punto medio de A y A'. 
De esta forma:

 

De estas ecuaciones despejamos x e y, tenemos las coordenadas de A’.

EJERCICIO

Dado los puntos A = (6,-1) y B = (-3,2)  calcula el simétrico de A respecto de B.
Solución

5. Ecuaciones de la recta
Para determinar una recta debemos conocer un punto P = (p₁,p₂) por el que pasa y un vector que indique su dirección, que será el vector director v  = (v₁,v₂).

Ahora veamos las distintas formas de expresar la ecuación de una recta:

 

Cuando tenemos la recta en forma general, podemos conocer las coordenadas de sus vectores, el vector normal de la recta es  n = (A,B) y el vector director es v = (-B,A). 

EJERCICIO 

Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos  A = (-1,1) y B = (3,-2), de todas las formas posibles.
Solución
 

6.   Posiciones relativas de dos rectas

Dos rectas en el plano pueden ser secantes, paralelas o coincidentes.

Hay varias formas de averiguarlo, según tengamos las rectas en forma general, explícita…

1)   Las dos rectas están en forma general:

Comparamos sus coeficientes:
 







2)  Las dos rectas están en forma explícita:

 Comparamos sus pendientes y su ordenada en el origen: 

 m≠m’             => Las rectas son secantes.

m=m’ y n≠n’  =>  Las rectas son paralelas.

m=m’ y n=n’  =>  Las rectas son coincidentes.

3)   Las rectas están de cualquier otra forma en la que es fácil obtener sus vectores directores y un punto de una de ellas. 

Comparamos los vectores si no son iguales ni proporcionales, las rectas son secantes y si lo son, tomamos un punto de una recta y comprobamos si pertenece a la otra recta, es decir:  

 

Solución

7. Ángulo que forman dos rectas 
El ángulo entre dos rectas es el menor ángulo que forman éstas.
Dicho ángulo coincide con el ángulo que forman sus vectores directores.

EJERCICIO 
Calcula el ángulo que forman las siguientes rectas:
r: 5x-y+4=0 y s: y-6=0
Solución


8. Distancias

8.1. Distancia entre dos puntos  
Para calcular la distancia entre dos puntos A = (x₁,y₁)  y B = (x₂,y₂) basta con obtener el módulo del vector que los une:

          8.2.      Distancia de un punto a una recta

Hay dos formas de calcular la distancia de un punto P a una recta r:

1) Gráficamente:  
a) Calcular la recta s perpendicular a r que pasa por P.
b) Calcular el punto de corte entre r y s, Q.                                       

c) La distancia de P a r será el módulo del vector PQ.

2) Analíticamente:

Sea el punto P=(x_o,y_o) la recta expresada en forma general r ≡ Ax+By+C=0, la distancia se calcula mediante la fórmula:

EJERCICIO

Calcular la distancia del punto P(3,1) a la recta r ≡ x-y-6=0
Solución

8.3. Distancia entre dos rectas 

Lo primero es comprobar que las dos rectas sean paralelas, porque si no la distancia entre ellas sería 0.

Para calcular la distancia entre r y s basta coger un punto P cualquiera de una de ellas y calcular la distancia a la otra como en el apartado anterior.

                                           d(r,s)=d(P_r,s) 

Solución

9.  Geometría del triángulo

Medianas y baricentro 

Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por un vértice y el punto medio del lado opuesto.

El punto de corte de las medianas se llama baricentro.

EJERCICIO

Halla las coordenadas del baricentro del triángulo de vértices A(2,0), B(0,2) y C(-4,-6)
Solución

Mediatrices y circuncentro

Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada lado en sus puntos medios.

El punto de corte de las mediatrices se llama circuncentro.

EJERCICIO

Halla el circuncentro del triángulo que determinan los puntos A(-2,-1), B(-1,2) y C(5,0)
Solución

Alturas y ortocentro

Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada lado que pasan por el vértice opuesto.

El punto de corte de las alturas es el ortocentro.

EJERCICIO

Halla el ortocentro del triángulo que determinan los puntos A(1,0), B(-3,2) y C(-1,-2)

Solución

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