1. La circunferencia
Una circunferencia de centro C(a,b) y radio r es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya
distancia a C, es r.
Ecuación
reducida:
(x-a)2+(y-b)2
= r2
Ecuación general:
Si desarrollamos los cuadrados y agrupamos,
obtenemos:
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2
= 0
Llamando D = -2a
E = -2b obtenemos
x2+y2+Dx+Ey+F
= 0
F = a2+b2-r2
F = a2+b2-r2
Para que una ecuación del tipo Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F = 0
corresponda a una circunferencia tiene que cumplir:
A=B
C=0
a2+b2>F
EJERCICIOS
1- Calcula la
ecuación de la circunferencia de centro el punto O(-1,3) y radio 2.
2- Calcular el centro y el
radio de la siguiente circunferencia x2+y2-4x+2y-4=0
3- Calcular la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es un
segmento de extremos los puntos A(1,2) y B(3,6).
Solución
1.1. Posición relativa de un punto y una circunferencia
Para saberlo basta con medir la
distancia del punto P al centro de la circunferencia d, y compararla con
su radio, r:
Si d > r, el punto será exterior
Solución
Si d = r, el punto estará en
la circunferencia
Si
d < r, el punto será interior a la
circunferencia
EJERCICIO
Estudia la posición de los puntos P(-1,2), Q(3,-2) y R(0,-1)
respecto a la siguiente circunferencia: x2+y2-4x+2y+1=0
Solución
Si el sistema tiene dos soluciones serán secantes, si tiene una solución serán tangentes (exteriores o interiores), y si no tiene solución serán o bien exteriores o bien interiores.
Para distinguir si son exteriores o interiores, calculamos la distancia entre los centros de ambas circunferencias. Si dicha distancia es
menor que el mayor de los dos radios, serán interiores, mientras que si dicha distancia es mayor que el mayor de los dos radios, serán exteriores.
Resumen:
Dos soluciones → secantes
Una solución → d(O1,O2) > rmáx → tangentes exteriores
1.2. Posición relativa de una recta y una circunferencia
Podemos comparar la distancia d, entre el centro de
la circunferencia y la recta s, con el radio de ésta, de esta forma:
Si d(C,s) > r
=> la recta es exterior a la circunferencia.
Si d(C,s) = r
=> la recta es tangente a la circunferencia.
Si d(C,s) < r => la recta es secante a la circunferencia.
EJERCICIO
Estudia la posición de la recta r: x+y+1=0 y la circunferencia C: x2+y2+2x+6y+1=0
Solución
Otra
forma de estudiar la posición de una recta y una circunferencia es
simplemente resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones (la de
la recta y la de la circunferencia) y en función de las soluciones del
sistema analizar la posición.
EJERCICIO
Estudia la posición de la recta r: x+y+1=0 y la circunferencia C: x2+y2+2x+6y+1=0
Solución
1.3. Posición relativa de dos circunferencias
Para estudiar la posición hay que resolver el sistema que forman las dos ecuaciones de las circinferencias.Si el sistema tiene dos soluciones serán secantes, si tiene una solución serán tangentes (exteriores o interiores), y si no tiene solución serán o bien exteriores o bien interiores.
Para distinguir si son exteriores o interiores, calculamos la distancia entre los centros de ambas circunferencias. Si dicha distancia es
menor que el mayor de los dos radios, serán interiores, mientras que si dicha distancia es mayor que el mayor de los dos radios, serán exteriores.
Resumen:
Dos soluciones → secantes
Una solución → d(O1,O2) > rmáx → tangentes exteriores
d(O1,O2)
< rmáx → tangentes interiores
Ninguna solución → d(O1,O2) > rmáx
→ exteriores
d(O1,O2)
< rmáx → interiores
EJERCICIO
Estudia la posición relativa de las siguientes circunferencias:
a)
C1: x2+y2-6x-12y+35=0 y C1: x2+y2-25=0
2. La elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos
del plano cuya suma de distancias a los focos es constante.
Elementos:
Focos: los puntos fijos F y F’.
Eje focal: recta que pasa por los focos.
Eje secundario: mediatriz del segmento FF’.
Centro: punto medio de F y F’.
Distancia focal: longitud del segmento FF’, sería 2c.
Vértices: puntos de corte de la elipse con sus ejes: A, A’, B y B’.
Eje o diámetro mayor: longitud del segmento AA’, sería 2a.
Eje o diámetro menor: longitud del segmento BB’, sería 2b.
Relación entre la distancia focal y los semiejes: a2 = b2+c2
Excentricidad:
donde 0 <e < 1, mide lo redondeada que
es la elipse, cuanto más cerca está de 0 más redonda es.
Si e=0 es una circunferencia y si e=1 es un segmento.
Si e=0 es una circunferencia y si e=1 es un segmento.
EJERCICIOS
1- Calcula la ecuación y los elementos de la elipse
que tiene un foco en el punto (3,0) y cuyo eje mayor mide 10.
2- Calcular los elementos de la elipse de ecuación 9x2+16y2=144
3. La hipérbola
La hipérbola es el lugar
geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los focos es
constante.
Elementos:
Focos: los puntos fijos F y F’
Eje focal: recta que pasa por los focos.
Eje secundario
o imaginario: mediatriz
del segmento FF’
Centro: punto medio de F y F’.
Distancia
focal: longitud del
segmento FF’, sería 2c.
Vertices A y
A’: puntos de
corte de la hipérbola con el eje focal.
Vertices B y B’: puntos de corte del eje
imaginario con la circunferencia de centro uno de los focos y radio c.
Eje o diámetro
mayor: longitud del
segmento AA’, sería 2a.
Eje o diámetro
menor: longitud del
segmento BB’, sería 2b.
Asíntotas: rectas que pasan por el
centro, de ecuaciones
Relación
entre los semiejes: c2 = a2+b2
Excentricidad:
donde 0 <e < 1,cuanto más cerca está de 1 más se cierran
las ramas de la hipérbola.
donde 0 <e < 1,cuanto más cerca está de 1 más se cierran
las ramas de la hipérbola.
EJERCICIOS
1- Calcula la ecuación y los elementos de la hipérbola que tiene un foco en el punto (5,0) y cuya diferencia de distancia a los focos es 6.
1- Calcula la ecuación y los elementos de la hipérbola que tiene un foco en el punto (5,0) y cuya diferencia de distancia a los focos es 6.
2- Calcular los elementos de la hipérbola de
ecuación 3x2-y2=12
Solución
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