1. Idea de límite
Diremos que el límite cuando “x” tiende a “a” de una función f es L,
si al tomar la variable independiente valores próximos al número “a” los correspondientes
valores de f(x) se aproximan al número L.
Pero ocurre que en ocasiones el
límite depende de si nos acercamos al punto por la derecha o la izquierda, como
sucede en las funciones a trozos, para ello se definen los límites laterales.
2. Cálculo de límites
2.1. Límite de una función en un punto
Para
calcular el límite de una función en un punto, basta sustituir en la función x
por dicho punto.
Solución
Sin embargo, en las funciones a trozos debemos hacer los límites laterales, para que exista el límite, estos límites deben ser iguales, es decir:
2.2.
Límite de una función en infinito
El límite cuando x tiende a ∞ de una función polinómica será ∞ o -
∞ según sea el signo del término de mayor grado del polinomio.
EJERCICIO
El
número de individuos, en millones, de una población viene dado por la función:
P(t) = 15 + t 2 / (t + 1) 2 donde
t se mide en años transcurridos, desde t = 0.
Calcula:
a)
La población inicial.
b)
El tamaño que tendrá la población a largo plazo, expresado en millones.
Solución
En algunas ocasiones
al calcular los límites nos van a aparecer expresiones como 0/0, ∞/∞ o ∞
- ∞, se les llama indeterminaciones, veamos que
operaciones debemos realizar para resolver cada una de ellas.
Indeterminación 0/0
Aparece cuando calculamos límites en un punto en un
cociente de polinomios, en este caso debemos descomponer los polinomios por
Ruffini y simplificar.
Si aparecen raíces en el límite debemos multiplicar y dividir por
el conjugado, operar y simplificar.
Solución
Indeterminación ∞ / ∞
Aparece cuando calulamos límites en ∞ en
un cociente de polinomios, en este caso dividimos todos los términos del numerador y
denominador por la x elevada a la mayor potencia y simplificamos.
O podemos
aplicar la siguiente regla:
Indeterminación ∞ - ∞
Si son funciones racionales debemos operar para transformar la indeterminación en una del tipo ∞/∞ . Y si aparecen raíces, hay que multiplicar y dividir por el conjugado, operar y después simplificar.
3.
Continuidad
Una función puede no ser continua en un punto
por dos motivos:
a) Porque no existe el límite de la función en ese punto, bien
porque da ∞ o porque los
límites laterales no coinciden.
En este caso diremos que en dicho punto presenta una discontinuidad
inevitable de salto infinito o finito, respectivamente.
b) Porque el límite existe pero no
coincide con f(a).
En este caso diremos que en dicho punto presenta una discontinuidad evitable.
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