Derivadas

         Para calcular derivadas podemos aplicar la definición de derivada o utilizar la fórmula correspondiente de la tabla de derivadas. 

          1.  Significado geométrico de las derivadas

         La derivada de una función en un punto a, es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto (a,f(a)), que además coincide con la tangente del ángulo que forma dicha recta con la horizontal.

    2.  Derivabilidad en un punto

          Se define la derivada de la función f en el punto a, se denota como f’(a), al siguiente límite:

       

       

         Para que una función sea derivable, debe ser continua. Ahora bien, si una función es continua puede ser o no derivable.

         Por tanto, si queremos saber si una función es derivable, lo primero que debemos hacer es comprobar si es continua.

         En las funciones a trozos, una vez que sabemos que son continuas, haremos derivadas laterales, para que la función sea derivable, deben ser iguales.

        

       
          Solución




                

           
   

     
            Solución



    3. Función derivada        

        Vamos a ver una función que nos permite calcular la derivada de una función, no en un punto concreto a, si no en cualquier valor genérico x. A esta función se le llama función derivada, se define como:

    

    

     

        

      Solución



    
    Solución

        

  4. Reglas de derivación

         4.1. Derivadas de operaciones con funciones

        

     

        4.2. Derivadas de funciones elementales

           

        

   

        Solución

         EJERCICIOS  
1- Comprobar si la función f(x) = x ³ - 5x ² + 1 tiene algún punto en el cual su derivada valga -7.

        2- Calcular el valor de k para que la derivada de la función f(x) = kx – 1 / 2x + k, valga 1 para el punto de abscisa x = 2. 

  Solución



        
     Solución

 

 Cálculo de la recta tangente

        Ya vimos que la interpretación geométrica de las derivadas es la pendiente de la recta tangente a una función en un punto.

        Luego conociendo la pendiente  y el punto “a” por el que pasa, podemos calcular la ecuación de la recta tangente:

                                              y - f(a) = f’(a) (x-a)

         EJERCICIOS

         1- Calcula la recta tangente a la función f(x) = x³-6x²+9x+2 en el punto de abscisa x = 2.

        2- Calcula los puntos de la gráfica de la función f(x) =2 x³-6x²+1  en los que la recta tangente es horizontal, y calcular las ecuaciones de dichas rectas tangentes.

         3- Razona si existe algún punto de la función f(x)=x²+5x+6  en la que la recta tangente sea paralela a la recta y = 3x-1, y en caso afirmativo calcula dicha recta tangente. 

         Solución

         EJERCICIOS 
1- Halla la ecuación de la recta tangente a la curva  f (x) = 2x2 - 6x + 1,  que es paralela a la siguiente recta  2x + y - 1 = 0.

         2- Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva  f (x) = 4x3 - 2x + 1  que son paralelas a la recta  y = 10x + 2.
Solución

          
       

        EJERCICIOS

        1- Dada la curva de ecuación y = x ³ - 3x. Calcular la ecuación de su recta tangente en el punto de abscisa x= -1. Comprobar si existe algún punto de ella en el cual su derivada valga 0.

        2- Dada la función f(x) = kx ³ - 4x ² + kx - 1 ¿Cuánto debe valer k para que las tangentes en los puntos A(0,f(0)) y B(1,f(1)) sean paralelas?
 Solución

 

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