Representación de funciones

 Como ya sabemos hacer límites y derivar, podemos representar cualquier función siguiendo los siguientes pasos:

          1.  Dominio de la función

          Para calcular el dominio, debemos fijarnos en la expresión algebráica de la función:

        

            

             Solución

                

          








Solución




2. Simetría

          Respecto del eje de ordenadas:

          Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas si es una función par, es decir:

                                                    f(-x) = f(x)          

         Respecto al origen:

         Una función f es simétrica respecto al origen si es una función impar, es decir:

                                                   f(-x) = -f(x)      

    

         EJERCICIO

         Comprueba si son simétricas las siguientes funciones:

           a) f(x)=x⁴-5x²+1 
b) f(x)=x⁵-7x³

           Solución

        EJERCICIO

        Comprueba si son simétricas las siguientes funciones:

          a) f(x)=x⁴+x² 
b) f(x)=x³+2x
Solución

         3. Periodicidad

         Una función es periódica cuando:

                                         f(t+T) = f(x) ,  siendo T el período.

         Suelen ser periódicas, las funciones trigonométricas.

         4.  Puntos de corte con los ejes

         Con el eje X:

         Hacemos y = 0 y resolvemos la ecuación resultante.

         Con el eje Y:

         Sustituimos x = 0 en la función.

         EJERCICIO

         Calcula los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:

         a) f(x) = x²-3x+2

         b) f(x) =x³-8x

        Solución

        EJERCICIO

        Calcula los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:

        a) f(x) = 2x³-5x²+x+2

        b) f(x) =x²-5x+3
Solución

 

5. Asíntotas

         Las asíntotas son rectas a las que la función se acerca indefinidamente.

          Hay tres tipos de asíntotas:

          Asíntotas verticales:

          Para calcular las asíntotas verticales debemos hacer el límite en los puntos que no pertenecen al dominio, en las funciones racionales, dicho límite debe dar  para que exista la asíntota.

         k serían los puntos que no están en el dominio y la asíntota sería de la forma x = k.

          Asíntotas horizontales:

         Para calcular las asíntotas horizontales debemos hacer el límite , dicho límite debe dar un número para que exista la asíntota.

     La asíntota será de la forma y = k.

        

          Posición de la función respecto de la asíntota

           Asíntotas oblicuas:

         Sólo calcularemos estas asíntotas cuando no haya asíntotas horizontales. 

         Las asíntotas oblicuas son de la forma y=mx+n, donde m y n son:

         Posición de la función respecto de la asíntota

       

            

 Solución       

        

         







Solución



          
6. Crecimiento y decrecimiento

          Para estudiar la monotonía seguiremos lo siguientes pasos:

        1. Derivar la función y hallamos las raíces haciendo: f’(x) = 0.

       2. Hacemos intervalos abiertos con las raíces de f’(x) y los puntos    que no están en el dominio de la función, si los hubiera.

       3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en f’(x).

           Si f’(a) > 0, entonces f es creciente en todos los puntos del intervalo al que pertenece a.

            Si f’(a) < 0, entonces f es decreciente en todos los puntos del intervalo al que pertenece a. 

         

        

         Solución

        

                  
7. Máximos y mínimos

          Para hallar los extremos locales seguiremos los siguientes pasos:

     1.  Hallamos la primera derivada y calculamos sus raíces.

     2. Calculamos la segunda derivada y sustituimos las raíces que  hemos obtenido, si:

            f’’(a) < 0 es un máximo relativo

           f’’(a) > 0 es un mínimo relativo

     3. Calculamos la segunda coordenada de los extremos, sustituyéndolos en f(x).

           

Solución

     






8.  Concavidad y convexidad

         Para calcular los intervalos donde la función es cóncava o convexa, seguiremos lo siguientes pasos:

          1.  Obtenemos f’’(x).

          2. Obtener sus raíces, es decir, calculamos f’’(x) = 0 .

          3. Hacemos intervalos abiertos con las raíces de f’’(x) y los puntos que no están en el dominio de la función, si los hubiera.

          4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en f’’(x).

          Si f’’(a) > 0  entonces f es convexa en todos los puntos del intervalo al que pertenece a.

          Si f’’(a) < 0   entonces f es cóncava en todos los puntos del intervalo al que pertenece a.

      5.  Escribimos los intervalos.

             

             Solución

          

       

 9. Puntos de inflexión

         Para hallar los puntos de inflexión seguiremos los siguientes  pasos:

         1.  Hallamos la segunda derivada y calculamos sus raíces.

     2.  Calculamos la tercera derivada y sustituimos las raíces que hemos obtenido, si:

          f’’’(a) ≠ 0 es un punto de inflexión

    3.  Calculamos la segunda coordenada, sustituyendo las raíces en f(x).

       

       Solución

    

    

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