Integral definida. Cálculo de áreas

El Cálculo Integral ha sido desarrollado a lo largo de la historia de las matemáticas a partir del problema de calcular áreas encerradas bajo curvas. Científicos tan importantes como Arquímedes, Kepler o Newton dedicaron gran parte de sus estudios a resolver este problema.

La idea de sumar infinitos trozos de áreas de figuras sencillas (normalmente rectángulos) para “rellenar” figuras de lados curvos, ha sido la clave durante los siglos para resolver el problema. Esta idea es el fundamento de la Integral Definida, cuyo desarrollo formal y riguroso se debe, sobre todo al trabajo de Riemann.

 

1. Integral definida

Sea una función f(x) y el intervalo [a,b], se define la integral definida como el área limitada por la gráfica de f(x), el eje X y las rectas x=a y x=b.

Se representa como:

 

Solución

EJERCICIO 
Halla razonadamente la expresión de una función f de la que se sabe que su derivada segunda es la función g(x) = x + 1, sabiendo también que su gráfica pasa por el punto (2, 1) y que la recta tangente en dicho punto es 3x – y = 5.
Solución

EJERCICIO

Encuentra la familia de curvas cuyas pendientes de las rectas tangentes a las mismas en cualquier punto de abscisa x vienen dadas por la función f(x) = xe ^2x. De entre todas ellas, determina la que pasa por el punto A (0, 2).
Solución

5. Regla de Barrow

Si f es una función continua en [a, b] y G(x) es una primitiva de f entonces:

Esta regla permite relacionar las integrales definidas con las indefinidas, podemos calcularlas usando primitivas.

 

Solución

Solución

6. Área de funciones

6.1. Área entre una función y el eje X

El área viene dada por la integral:

 

Siendo a y b los puntos de corte de la función con el eje X.

EJERCICIO

Halla el área del recinto comprendido entre la parábola y = x² - 1, la recta y = 5 - x y el eje de abscisas.

Solución

EJERCICIO

Halla el área del recinto comprendido entre la curva y = -x² + 3, y el eje de abscisas en el intervalo [-2, 2]
Solución

EJERCICIO

Halla el área del recinto comprendido entre la curva y=ln(x+3) y el eje OX entre x=0 y x=1
Solución

EJERCICIO

Halla el área del recinto comprendido entre la curva y=sen(x/2) y el eje OX, entre x=0 y x=П
Solución

 

6.2. Área entre dos funciones

El área viene dada por la integral:

 Siendo a y b los puntos donde se cortan las dos funciones.

EJERCICIO

Halla el área limitada por las funciones f(x) = x² y g(x) = √x.
Solución

EJERCICIO

Halla el área limitada por las curvas y = sen x e y = cos x en el intervalo  [0, П/2]
Solución

EJERCICIO

Dos hermanas heredan una parcela que han de repartirse en partes iguales.
La parcela es la región plana encerrada entre la parábola y = x ² y la recta y = 1. Deciden dividir la parcela mediante una recta horizontal. Halla el valor de a.
Solución

EJERCICIO

Sea f: R → R la función definida por f(x) = e ^x/3

a) ¿En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas? Halla la ecuación de dicha recta tangente.

b) Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la gráfica de f, la recta tangente y el eje de ordenadas.
Solución

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