1. Definición variable aleatoria
Consideremos
un experimento aleatorio y sea E el espacio muestral asociado. Se llama variable aleatoria a toda función que asocia
a cada elemento del espacio muestral E un número real.
Según los valores que tome la
variable hay dos tipos:
a) Variable aleatoria discreta:
si sólo toma valores enteros.
b) Variable aleatoria continua: si
puede tomar todos los valores de un intervalo.
2. Variable aleatoria
discreta
Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta a la aplicación que asocia a cada valor x de la variable X su probabilidad p:
Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta a la aplicación que asocia a cada valor x de la variable X su probabilidad p:
f(xi)
= P(X = xi)
Se llama función de distribución
de X a la función que asocia a cada valor de la variable aleatoria la
probabilidad acumulada hasta ese valor:
Se llama media o esperanza
matemática de
X a la siguiente expresión:
La varianza
se define como:
La desviación
típica es la raíz de la varianza.
EJERCICIOS
1- Calcula la función de probabilidad y función de distribución de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.
1- Calcula la función de probabilidad y función de distribución de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.
2- Calcular la esperanza
matemática, la varianza, y la desviación típica, de la distribución de
probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.
Solución
Solución
3. Distribución Binomial
Un experimento sigue el modelo de la distribución
binomial o de Bernouilli si:
1. En cada prueba del experimento sólo son
posibles dos resultados: el suceso
A (éxito) y su contrario.
2. La probabilidad
p, del suceso A no varía de una prueba a otra.
3. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
La variable aleatoria
binomial, X, es una
variable aleatoria discreta, que expresa el número de éxitos obtenidos de
cada prueba del experimento.
Cuando una variable sigue una
distribución binomial se representa por:
X --> B(n, p)
La función de probabilidad de la distribución binomial es:
donde:
n es el número de
pruebas.
k es el número de
éxitos.
p es la
probabilidad de éxito.
q es la
probabilidad de fracaso.
un número combinatorio, que se calcula como
sigue:
En una distribución binomial B(n,p) se puede demostrar que:
Media: μ= n.p
Varianza: σ2= n.p.q
Desviación
típica:
σ= √n.p.q
EJERCICIO
La
probabilidad de que un alumno de 1º de Bachillerato repita curso es de 0,3. Elegimos
20 alumnos al azar. ¿Cuál es la
probabilidad de que haya exactamente 4 alumnos repetidores? ¿Y la probabilidad de que haya a
los sumo 2 repetidores?
Solución
EJERCICIO
En un laboratorio se sabe que el 98% de las pruebas de diabetes da negativo. Si se reciben 10 muestras para analizar:
a) Calcula la probabilidad de que a dos personas le de positivo.
EJERCICIO
De una población el 20% son inmigrantes africanos.
Se eligen al azar 5 personas. Calcula la probabilidad de que:
a) Haya un inmigrante africano.
b) Haya, al menos, un inmigrante africano.
4. Distribución Normal
Es el modelo de distribución más utilizado en
la práctica, ya que multitud de fenómenos se comportan según una distribución
normal.
Una variable aleatoria continua sigue
una distribución
normal
de media μ y desviación típica σ si:
1. La variable puede tomar cualquier valor.
2. La función de
densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de
la curva de Gauss:
Cuando una variable sigue una
distribución normal se representa por:
X --> N(μ,σ)
No
hay una única distribución normal, ya que depende de los valores que tomen la
media y la varianza, la más utilizada es la distribución normal tipificada,
que corresponde a una distribución de media 0 y varianza 1, es decir, N(0,1).
Su función de densidad es:
Veamos cómo se
calculan las distintas probabilidades en una N(0,1):
Tipificación de una Distribución Normal
No hay tablas para todas las
distribuciones normales N(μ, σ), por lo que hay que transformarlas en
una N(0,1) para poder usar la tabla.
Al proceso de transformar una
variable normal cualquiera N(μ, σ) en una N(0,1) se le llama tipificación de la
variable.
El cambio de variable que hay que
hacer es:
EJERCICIO
Una patrulla de
tráfico realiza un control de alcoholemia en una carretera y llegan a la
conclusión de que el nivel de alcohol en sangre de los conductores sigue una
distribución N(0'25,0'1). Si el nivel de alcoholemia permitido es de 0'5 para
los conductores expertos y 0'3 para los conductores novatos.
a) ¿Cuál es la
probabilidad de que un conductor al azar tenga más de 0'5?
b) ¿Cuál es la
probabilidad de que tenga más de 0'3?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un
conductor diese positivo en la de 0'3 pero no en la de 0'5?Solución
EJERCICIO
La edad de un grupo de personas sigue una distribución N(35,10)Calcula la probabilidad de que una persona, elegida al azar de ese grupo, tenga:
a) Más de 40 años.
b) Entre 23 y 47 años.
Solución
EJERCICIO
Se sabe que el 98,61% de los tornillos fabricados por una empresa tienen un diámetro menor que 3,398 mm. Si el diámetro de los tornillos se distribuye según una normal de media 3,2 mm. Calcula la desviación típica.
Solución
Solución
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