Teoría de muestras

1. Principales conceptos

Se llama población al conjunto de elementos que poseen una característica común, sobre la que deseamos obtener cierta información.

En algunas ocasiones no podemos estudiar toda la población, entonces lo que se hace es escoger una muestra que la represente.

Para elegir la muestra se realiza un muestreo, después los resultados que obtengamos de la muestra se extrapolan a la población, es a lo que se llama inferencia estadística.

 

2. Tipos de muestreo

Hay dos tipos de muestro:

No aleatorios

Se eligen elementos representativos, según la decisión del investigador.

Aleatorios
Todos los elementos de la muestra se eligen al azar.
Hay varios tipos de muestro aleatorio:

a) Simple: Se enumeran los elementos de la población y se van escogiendo al azar.

b) Sistemático: Se ordenan los elementos, se elige uno al azar y después a intervalos constantes, se elige el resto.

c)  Estratificado: Se reparten los elementos en estratos, puede ser de dos formas:

    Afijación uniforme: cada estrato tiene el mismo número de elementos.

    Afijación proporcional: el número de elementos es proporcional al tamaño del estrato.

3. Distribución de medias muestrales

Teorema Central del Límite

Supongamos que tenemos una población que sigue una distribución N(μ, σ) o n ≥ 30, tomamos muestras de tamaño n, entonces las medias muestrales siguen la siguiente distribución:

 

EJERCICIO

La edad de los miembros de una determinada asociación sigue una distribución  N (μ, σ).  Sabemos que la distribución de las medias de las edades en muestras de tamaño 36 tiene como media 52 años y como desviación típica 0,5.

a)  Halla la media y la desviación típica de la edad de los miembros de la asociación.

b)  ¿Cuál es la probabilidad de que un miembro de la asociación, elegido al azar, sea mayor de 60 años?

Solución

EJERCICIO

Las estaturas de 1200 estudiantes de un centro de enseñanza se distribuyen normalmente con una media de 1,72 m y desviación típica 0,9. Si se toma al azar una muestra de 36 estudiantes. Calcula:
a) La probabilidad de que la media sea inferior a 1,75 m 
b) La probabilidad de que la media esté entre 1,68 m y 1,73 m
Solución

EJERCICIO
La estatura de 1000 estudiantes se distribuye con una normal de media 174,5 cm y desviación típica 6,9 cm. Si se extraen 200 muestras de tamaño 25, calcula la probabilidad de que la estatura media esté entre 172,5 cm y 175,8 cm.
Solución

4. Distribución de las proporciones muestrales

En algunas ocasiones no nos va a interesar la media de la muestra, sino que queremos saberla proporción de artículos defectuosos o la proporción de alumnos aprobados en la muestra, en estos casos utilizamos la distribución de las proporciones de la muestra.

A la proporción de individuos que poseen una determinada característica le llamamos p, (q = 1 – p)

Extraemos muestras de tamaño n, si n es lo suficientemente grande (n > 30), la proporción de las muestras sigue la siguiente distribución:

EJERCICIO

Se sabe que el 15 % de los ancianos de una residencia están enfermos.

a) ¿Cómo se distribuye la proporción de ancianos enfermos en muestras de 40 individuos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que en dicha muestra la proporción de enfermos esté entre el 8 y el 22 %?

Solución

EJERCICIO

Una máquina fabrica piezas de precisión. En su producción habitual, fabrica un 3% de piezas defectuosas. Un cliente recibe una caja de 500 piezas procedentes de la fábrica. Calcula la probabilidad de que:
a) Haya más de un 5% de piezas defectuosas en la caja.
b) Haya menos de 10 piezas defectuosas en la caja.
Solución

EJERCICIO

Se sabe que el 10% de los habitantes de una ciudad va al teatro. Se toma una muestra al azar de 100 habitantes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos el 13% vaya al teatro?
Solución

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