1. Introducción
En
una población podemos conocer su distribución, pero desconocer algún parámetro,
en ese caso podemos estimarlo a partir de una muestra representativa.
Un estimador es un
valor que se puede calcular a partir de los datos muestrales y que proporciona
información sobre el valor del parámetro.
Una estimación
es puntual cuando se
obtiene un sólo valor para el parámetro, pero la posibilidad de equivocarnos es
muy grande. Para evitar eso, se usa la estimación por
intervalos de confianza, consiste en hallar un intervalo en el que se
encuentre el valor del parámetro, con una determinada probabilidad.
A la probabilidad de que
acertemos al decir que el parámetro está en ese intervalo se le llama nivel de confianza, se denota como 1-α.
Y
a la probabilidad de equivocarnos se le llama nivel de significación,
se denota como α.
Dado un nivel de confianza 1-α se
llama valor crítico Zα/2 al valor que en una N(0,1) cumple que:
P(-Zα/2 ≤
Z ≤ Zα/2) = 1 - α
EJERCICIO
Calcular
los valores críticos para los siguientes niveles de confianza: 90, 95, 98 y
99%.
2. Intervalo de confianza para la media poblacional
El
intervalo de confianza,
para la media de una población, con un nivel de confianza de 1- α, siendo X la media de una muestra de
tamaño n y σ la desviación típica de la población, es:
El
error máximo de estimación es:
El tamaño
de la muestra es:
EJERCICIOS
1- El peso de las truchas
de una piscifactoría se distribuye según una normal de media 150 gramos y
varianza 1225. Halla un intervalo en el que se encuentren el 95% de las medias
de pesos de las muestras de tamaño 50.
2- Un sociólogo está
estudiando la duración del noviazgo en una extensa área rural. Se tomó una
muestra aleatoria formada por 56 familias y se obtuvo que la duración media de
su noviazgo fue 3’4 años, con una desviación típica de 1’2 años. ¿Cuál debería
ser el tamaño de la muestra para estar seguro al nivel del 90% de que error
máximo cometido es de 0’05?
EJERCICIO
Se sabe que una variable aleatoria sigue una ley normal de media desconocida y desviación típica 2. De una muestra de tamaño 400 obtenida al azat, se obtiene una media muestral igual a 50. Si el nivel de confianza es del 97%, ¿qué tamaño mínimo debe tener la muestra para que la amplitud del intervalo que se obtenga sea 1?Solución
3. Intervalo de confianza para la proporción
El intervalo de
confianza para la proporción, a
un nivel de confianza de 1- α es:
El
error máximo de estimación es:
El tamaño
de la muestra es:
EJERCICIOS
1- La proporción
de alumnos de cierto instituto que aprueban matemáticas es de 560/800.
Halla el intervalo
característico para la proporción de aprobados en matemáticas, en muestras de
30 alumnos, correspondiente al 99%.
2- ¿De qué tamaño habría que elegir una muestra
para estimar la proporción de alumnos el
instituto que le gusta el fútbol con un nivel de confianza del 95% y un error
inferior a 0.05, si en una muestra de 10 alumnos, 6 de ellos respondieron que
les gustaba el fútbol?
Solución
Solución
EJERCICIO
Si al lanzar 80 veces una moneda se obtienen 45 caras, ¿se puede aceptar que la moneda esté trucada con un nivel de significación del 5%?Solución
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